일산 정발고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2 시험지를 한 문항씩 뜯어봤습니다. 선택형 20문항에 서술형 2문항, 100점 만점입니다. 단원을 나누고 배점을 더해 보니 점수가 갈리는 자리가 선명했습니다. 다음 시험을 준비하는 학생과 학부모님께 도움이 되도록 정리했습니다.
시험지를 한눈에 보면
▲ 문항 번호를 단원 색으로 칠한 시험지 지도. 앞 15문항이 59.6점, 뒤 7문항이 40.4점입니다
22칸을 단원별로 칠해 놓고 보면 두 가지가 먼저 눈에 들어옵니다. 초록(집합)이 가장 많다는 것, 그리고 뒤쪽 7칸에 배점이 40.4점이나 몰려 있다는 것입니다. 아래에서 하나씩 풀어 보겠습니다.
집합이 7문항, 가장 많았습니다
▲ 선택형 20문항과 서술형 2문항을 단원별로 나눈 결과
집합이 7문항(28.9점)으로 가장 많았고, 평면좌표·직선의 방정식이 5문항, 도형의 이동과 원의 방정식이 각각 4문항이었습니다. 집합·도형의 이동·원의 방정식, 세 단원이 선택형 20문항 중 15문항을 차지했습니다.
작년 세 학교 기출을 분석했을 때도 가장 많이 나온 단원이 원의 방정식·도형의 이동·집합이었습니다. 올해 정발고도 같은 흐름이었습니다. 시험 범위는 집합까지였고, 명제는 한 문항도 나오지 않았습니다.
실제 문제 ① 집합 — 조건을 만족하는 집합의 개수
집합 단원에서 가장 눈에 띈 것은 10번입니다. 전체집합의 부분집합 가운데 조건을 만족하는 집합 X의 개수를 세는 문제로, 배점은 4.1점이었습니다. 아래는 이 시험의 10번과, 펭수학 문제은행에서 같은 유형으로 분류된 문항입니다.
▲ 위: 정발고 10번 / 아래: 펭수학 문제은행 '조건을 만족하는 집합의 개수' 유형의 문항과 해설
숫자와 원소는 다르지만 풀이의 뼈대는 같습니다. 조건을 읽고 원소를 '반드시 넣을 것·절대 넣지 않을 것·자유롭게 둘 것'으로 먼저 가른 뒤, 자유로운 원소의 개수로 부분집합의 수(2의 거듭제곱)를 셉니다. 10번은 여기에 "조건을 어기는 경우를 빼는" 한 단계가 더 붙고, 문제은행 해설은 같은 가르기 과정을 차근차근 보여 줍니다. 이 구조를 한 번 익혀 두면 시험장에서 처음 보는 조건이 나와도 첫 줄을 쓸 수 있습니다.
앞은 기본, 뒤는 겹쳐 쓰는 문제
▲ 막대 색은 단원, 맨 오른쪽 두 막대는 서술형입니다
1번은 집합의 뜻을 묻는 문항, 2번은 점의 평행이동이었고 배점은 3.3점입니다. 번호가 올라갈수록 배점이 조금씩 커지다가 16번부터는 5점 안팎, 서술형은 7점과 8점입니다. 16~20번과 서술형 2문항, 뒤쪽 7문항의 배점이 40.4점입니다. 앞쪽 15문항은 59.6점입니다.
뒤쪽 문항의 공통점은 한 단원 안에서 끝나지 않는다는 것입니다.
▲ 16·18·19·20번에 쓰인 도구들
- 16번 — 다항식의 값으로 만든 집합과 소수의 집합을 비교합니다. 다항식과 집합이 함께 나옵니다.
- 18번 — 대칭이동을 이용해 삼각형 둘레의 최솟값을 구합니다.
- 19번 — 원과 직선이 만나는 점의 개수를 경우를 나누어 따집니다.
- 20번 — 이차함수 그래프, 내분점, 점과 직선 사이의 거리를 이어서 씁니다.
아는 도구를 두세 개 겹쳐야 풀립니다. 새로운 개념이 나온 것이 아니라서, 각 도구를 따로 익혀 두면 준비할 수 있는 문제들입니다.
실제 문제 ② 19번 — 원과 직선, 그리고 경우 나누기
겹쳐 쓰는 문제의 대표가 19번입니다. 세 원으로 이루어진 도형과 직선이 만나는 점의 개수가 홀수가 되도록 하는 정수 n을 모두 찾아 더하는 문제로, 배점은 5.2점입니다.
▲ 정발고 19번
직선의 y절편이 움직이면서 세 원과 만나는 점의 개수가 계속 바뀝니다. 접하는 순간, 두 원을 동시에 지나는 순간처럼 개수가 달라지는 경계를 하나씩 찾아 경우를 나누어야 합니다. 원과 직선의 위치 관계를 "접한다 / 두 점에서 만난다 / 만나지 않는다"로 확실히 구분해 두는 것이 출발점입니다.
서술형 15점, 소재는 둘 다 원 위의 점
서술형 두 문항은 모두 원 위를 움직이는 점 P가 소재였습니다. 한 문항은 삼각형 PAB의 넓이가 가질 수 있는 최댓값과 최솟값의 차를, 다른 문항은 삼각형 PAB의 무게중심이 그리는 도형의 방정식을 구하고 그 도형과 직선의 교점으로 이어 갑니다. 두 문항 다 풀이 과정까지 채점합니다.
▲ 정발고 서술형 1번(7점)
작년 정발고도 논술형 두 문항에 15점이었습니다. 올해도 같은 비중입니다. 정답만이 아니라 점이 움직이면 무엇이 변하고 무엇이 고정인지를 문장으로 적는 연습이 필요한 이유입니다. 이 문제라면 밑변 AB는 고정이고 높이만 변하므로, "높이가 최대·최소가 되는 위치는 원의 중심에서 직선 AB까지의 거리에 반지름을 더하고 뺀 곳"이라는 문장이 풀이의 핵심 줄이 됩니다.
펭수학 문제은행에는 같은 유형이 있습니다
이번 시험의 많은 문항은 펭수학 문제은행의 유형과 맞닿아 있습니다. 6번은 '축에 접하는 원', 12번은 '정점을 지나는 직선', 14번은 '도형의 대칭이동', 17번은 '접선의 방정식의 활용', 10번은 '조건을 만족하는 집합의 개수' 유형입니다. 이 유형들에는 문제가 각각 열두 문항 이상 들어 있고, 문항마다 해설이 있습니다.
실제 문제 ③ 17번 — 접선의 방정식의 활용
17번은 원 밖의 한 점에서 두 접선을 긋고, 두 접점과 그 점이 이루는 삼각형의 넓이를 묻는 문제입니다. 문제은행에는 같은 유형으로 "원 밖의 점에서 접선을 그을 때 두 접점을 지나는 직선"을 묻는 문항이 있습니다.
▲ 위: 정발고 17번 / 아래: 펭수학 문제은행 '접선의 방정식의 활용' 유형의 문항
두 문제 모두 두 접점을 지나는 직선(접점의 극선) 을 구하는 것이 핵심입니다. 이 직선만 세우면 삼각형의 밑변과 높이가 바로 나옵니다. 시험 문제와 똑같은 문제가 아니라, 같은 사고 과정으로 풀리는 문제입니다. 17번과 12번(정점을 지나는 직선)은 문제은행 기준 4단계 유형으로, 이번 시험에서 난도가 높은 쪽에 속합니다.
신호등 학습이 이럴 때 힘이 됩니다
▲ 틀린 유형이 빨강으로 남고, 도전으로 초록 쪽으로 올리는 순환
펭수학에는 유형마다 신호등이 있습니다. 그 유형의 문제를 풀어 맞히면 신호등이 초록 쪽으로 바뀌고, 틀리면 빨강 쪽으로 남습니다. 빨강이나 노랑으로 남은 유형은 '신호등 도전'으로 같은 유형의 새 문제를 다시 풀어 색을 올릴 수 있습니다.
- 집합의 뜻과 표현, 점의 평행이동 같은 앞쪽 기본 유형은 전부 초록으로 만들어 두면 실수로 잃는 점수가 사라집니다.
- 원의 방정식, 대칭이동, 집합의 연산처럼 뒤쪽 문항의 재료가 되는 유형은 빨강·노랑이 어디 남았는지 먼저 확인하고 그곳부터 도전합니다.
- 막연히 "원이 약하다"가 아니라 "축에 접하는 원이 노랑이다"처럼 약한 곳을 유형 단위로 알 수 있습니다.
뒤쪽 문제는 여러 도구를 겹쳐 쓰기 때문에, 재료가 되는 유형 하나가 빨강이면 문제 전체가 막힙니다. 신호등은 남은 시간을 어디에 쓸지 알려 주는 지도 역할을 합니다.
다음 시험을 위한 준비
- 기본 유형부터 초록불로. 집합의 뜻, 평행이동, 두 점 사이의 거리처럼 앞쪽에 나오는 유형을 먼저 확실하게 만듭니다.
- 집합은 가장 많이 나오는 단원입니다. 연산법칙, 조건을 만족하는 집합의 개수, 원소의 개수 활용을 유형별로 반복합니다.
- 원·이동·직선을 겹쳐 쓰는 연습을 합니다. 대칭이동으로 최솟값 구하기, 원과 직선의 교점 개수 경우 나누기처럼 도구를 이어 쓰는 문제를 따로 모아 풉니다.
- 서술형은 풀이를 말로 적어 봅니다. 푼 뒤에 왜 그 식을 세웠는지 한두 줄로 써 보는 습관이 도움이 됩니다.
- 마지막 주에는 빨강·노랑 유형만 다시 봅니다. 새 문제집을 펴기보다 남은 약점을 줄이는 쪽이 효과적입니다.
학교 시험에 맞춘 준비가 필요하다면
같은 공통수학2라도 학교마다 배점 구조와 뒤쪽 문항의 성격이 다릅니다. 에스피엘 영어·수학 학원은 학생이 다니는 학교의 기출을 먼저 분석하고, 펭수학 신호등으로 지금 비어 있는 유형부터 채웁니다. 재학 중인 학교와 막히는 단원을 알려 주시면, 다음 시험까지 필요한 순서를 구체적으로 상담해 드리겠습니다.
분석 방법: 시험지 원본 22문항을 단원별로 분류해 집계했습니다. 배점과 정답은 학교가 배포한 정답·배점표 기준입니다. 작년 비교는 2025학년도 2학기 1차 지필평가 기준입니다.